高校数学の「数3」公式一覧とそれぞれ公式の証明をまとめました．大学受験などにご活用いただけたら幸いです．すでに高校を卒業した方でも，パズル感覚で公式の証明をするのも楽しいので，ぜひチャレンジしてみてください．
各公式の右下にその公式の証明のリンクがあります。
平面上の曲線
楕円の性質
楕円の性質楕円\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)\)において
・長軸：2a、短軸：2b
・焦点 \(F(\sqrt{a^2-b^2}, 0)、 F'(-\sqrt{a^2-b^2}, 0)\)
・楕円上の点Pで PF+PF’=2a
双曲線の性質
双曲線の性質 双曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 (a>0, b>0)\)において
・焦点 \(F(\sqrt{a^2+b^2}, 0)、 F'(-\sqrt{a^2+b^2}, 0)\)
・双曲線上の点Pで |PF-PF’|=2a
複素数平面
複素数の積と商
複素数の積と商\(・z_1z_2=r_1r_2\{cos(θ_1+θ_2)+isin(θ_1+θ_2)\}\)
\(・\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\{cos(θ_1-θ_2)+isin(θ_1-θ_2)\}\)
ド・モアブルの定理
ド・モアブルの定理$$(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ$$
関数と極限
\(\frac{sinθ}{θ}\)の極限
\(\frac{sinθ}{θ}\)の極限$$\lim_{θ→0}\frac{sinθ}{θ}=1$$
微分
積の導関数
積の導関数$$\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$
商の導関数
商の導関数\(・\{\frac{1}{g(x)}\}’=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)
\(・\{\frac{f(x)}{g(x)}\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)
三角関数の導関数
三角関数の導関数 \(・(sinx)’=cosx\)
\(・(cosx)’=-sinx\)
\(・(tanx)’=\frac{1}{cos^2x}\)
対数関数の導関数
対数関数の導関数$$(\log_ax)’=\frac{1}{x\log a}$$
\(x^a\)の導関数
\(x^a\)の導関数$$(x^a)’=ax^{a-1}$$
指数関数の導関数
指数関数の導関数 \(・(e^x)’=e^x\)
\(・(a^x)’=a^x\log a\)
微分の応用
平均値の定理
平均値の定理 f(x) が[a,b] で連続, (a,b) で微分可能のとき
\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) (a<c<b)\)
となる点cが存在する。
コーシーの平均値の定理
コーシーの平均値の定理 f(x), g(x)が[a,b] で連続, (a,b) で微分可能のとき, ある点cが存在して
\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} (a<c<b)\)
が成り立つ。
ロピタルの定理
ロピタルの定理 f(x), g(x)がx=a近くで微分可能で, f(a)=0, g(a)=0かつ\(\lim_{x→a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) が存在するならば
\(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)
が成り立つ。
積分とその応用
置換積分法
置換積分法$$\int f(x)dx=\int f(g(t))g'(t)dt$$
部分積分法
部分積分法$$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$$
偶関数の定積分
偶関数の定積分$$\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx$$
奇関数の定積分
奇関数の定積分$$\int_{-a}^af(x)dx=0$$