“三角関数の導関数”の公式とその証明です！
三角関数の導関数
公式
三角関数の導関数 \(・(sinx)’=cosx\)
\(・(cosx)’=-sinx\)
\(・(tanx)’=\frac{1}{cos^2x}\)
証明
\((sinx)’=cosx\)の証明
証明
導関数の定義\(f'(x)=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)より
\((sinx)’=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}\)
和積の公式より
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{2cos(\frac{2x+h}{2})sin\frac{h}{2}}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}cos(x+\frac{h}{2})\frac{sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\)
\(・\displaystyle\lim_{θ→0}\frac{sinθ}{θ}=1\)より
\(=\displaystyle\lim_{h→0}cos(x+\frac{h}{2})\)
\(=cosx\)
よって
\((sinx)’=cosx\)
\((cosx)’=-sinx\)の証明
証明
導関数の定義\(f'(x)=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)より
\((cosx)’=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{cos(x+h)-cos(x)}{h}\)
和積の公式より
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{-2sin(\frac{2x+h}{2})sin\frac{h}{2}}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}-sin(x+\frac{h}{2})\frac{sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\)
\(・\displaystyle\lim_{θ→0}\frac{sinθ}{θ}=1\)より
\(=\displaystyle\lim_{h→0}-sin(x+\frac{h}{2})\)
\(=-sinx\)
よって
\((cosx)’=-sinx\)
\((tanx)’=\frac{1}{cos^2x}\)の証明
証明
\((tanx)’=(\frac{sinx}{cosx})’\)
商の導関数より
\(=\frac{(sinx)’cosx-sinx(cosx)’}{cos^2x}\)
\(=\frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}\)
\(=\frac{1}{cos^2x}\)
よって
\((tanx)’=\frac{1}{cos^2x}\)
