【高校数学】”商の導関数”の公式とその証明

“商の導関数”の公式とその証明です！

商の導関数

公式

\(・\{\frac{1}{g(x)}\}’=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)
\(・\{\frac{f(x)}{g(x)}\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)

証明

\(\{\frac{1}{g(x)}\}’=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\) の証明

証明
\(\{\frac{1}{g(x)}\}’\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{1}{h}\{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}\}\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{1}{h}\frac{-g(x)+g(x+h)}{\{g(x+h)g(x)}\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\frac{-1}{g(x+h)g(x)}\)
\(=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)
よって
\(\{\frac{1}{g(x)}\}’=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)

\(\{\frac{f(x)}{g(x)}\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)の証明

証明
\(\{\frac{f(x)}{g(x)}\}’\)
\(=\{f(x)\frac{1}{g(x)}\}’\)
積の導関数より
\(=f'(x)\frac{1}{g(x)}+f(x)\{\frac{1}{g(x)}\}’\)
\(=\frac{f'(x)g(x)}{\{g(x)\}^2}-\frac{f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)
\(=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)
よって
\(\{\frac{f(x)}{g(x)}\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)

数3の公式一覧とその証明