【高校数学】”奇関数の定積分”の公式とその証明

“奇関数の定積分”の公式とその証明です！

奇関数の定積分

公式

$$\int_{-a}^af(x)dx=0$$

証明

奇関数の定義による証明

証明
\(\int_{-a}^af(x)dx\)
\(=\int_{-a}^0f(x)dx +\int_{0}^af(x)dx\)
また\(x=-t\)とすると
\(\int_{-a}^0f(x)dx\)
\(=\int_{a}^0f(-t)(-1)dt\)
奇関数の定義 f(-x)=-f(x)より
\(=-\int_{0}^af(t)dt\)
よってf(x)が奇関数のとき
\(\int_{-a}^0f(x)dx =-\int_{0}^af(x)dx \)
よって
\(\int_{-a}^af(x)dx\)
\(=\int_{-a}^0f(x)dx +\int_{0}^af(x)dx\)
\(=-\int_{0}^af(x)dx +\int_{0}^af(x)dx\)
\(=0\)

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