“楕円の性質”の公式とその証明です！
楕円の性質
公式
楕円の性質楕円\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)\)において
・長軸：2a、短軸：2b
・焦点 \(F(\sqrt{a^2-b^2}, 0)、 F'(-\sqrt{a^2-b^2}, 0)\)
・楕円上の点Pで PF+PF’=2a
証明
証明
まず楕円の定義は焦点を\(F(c,0)、F'(-c,0)\)、楕円上の点を\(P(x,y)\)としたときに、
\(PF+PF’=2a\)となる。
よって上の図より
\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a\)
⇒ \(\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)
両辺を２乗して整理すると
\(a^2+xc=a\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)
さらに両辺を２乗して整理すると
\((a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\)
\(a^2-c^2=b^2\)とすると ①
\(b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\)
⇒ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) ②
また①より
\(c^2=a^2-b^2\)
⇒ \(c=±\sqrt{a^2-b^2}\)
a>b>0より
焦点は\(F(\sqrt{a^2-b^2}, 0)、F'(-\sqrt{a^2-b^2}, 0)\)
また②よりy=0のとき
\(x^2=a^2\)
⇒ \(x=±a\)
またx=0のとき
\(y^2=b^2\)
⇒ \(y=±b\)
よって
長軸：2a、短軸：2b
つまり
楕円\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)\)において
・長軸：2a、短軸：2b
・焦点 \(F(\sqrt{a^2-b^2}, 0)、 F'(-\sqrt{a^2-b^2}, 0)\)
・楕円上の点Pで PF+PF’=2a
