【高校数学】”ロピタルの定理”の公式とその証明

“ロピタルの定理”の公式とその証明です！

ロピタルの定理

公式

f(x), g(x)がx=a近くで微分可能で, f(a)=0, g(a)=0かつ\(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) が存在するならば
\(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x→a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)
が成り立つ。

証明

コーシーの平均値の定理による証明

証明
f(x), g(x)がx=a近くで微分可能であるため
コーシーの平均値に定理より
\(\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\)
また条件より\(f(a)=g(a)=0\)より
\(\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(x)}{g(x)}\)
またa<c<xであるため、x→aのとき、c→aとなる。
つまり
\(\displaystyle \lim_{c→a}\frac{f'(c)}{g'(c)}=\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f'(x)}{g'(x)}= \displaystyle \lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}\)
よって
f(x), g(x)がx=a近くで微分可能で, f(a)=0, g(a)=0かつ\(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) が存在するならば
\(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x→a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)
が成り立つ。

数3の公式一覧とその証明