【高校数学】数2の公式一覧とその証明まとめ！

高校数学の「数2」公式一覧とそれぞれ公式の証明をまとめました．大学受験などにご活用いただけたら幸いです．すでに高校を卒業した方でも，パズル感覚で公式の証明をするのも楽しいので，ぜひチャレンジしてみてください．
各公式の右下にその公式の証明のリンクがあります。

方程式・式と証明

二項定理

$(a+b)^n=_nC_0a^n+_nC_1a^{n-1}b+…_nC_ra^{n-r}b^r+$
　　　　　　$…_nC_{n-1}ab^{n-1}+_nC_nb^n$
　　　　$ =\displaystyle \sum_{k=0}^n {}_nC_k a^{n-k}b^k $

“二項定理”の証明

相加平均と相乗平均

a≧0、b≧0のとき
　　　　$\frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}$

“相加平均と相乗平均”の証明

図形と方程式

内分点・外分点の座標

2点$A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$を結ぶABがあるとき
・m：n に内分する点の座標は
　　　　$(\frac{nx_1+mx_2}{m+n}, \frac{ny_1+my_2}{m+n})$
・m：n に外分する点の座標は
　　　　$(\frac{-nx_1+mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1+my_2}{m-n})$

“内分点・外分点の座標”の証明

三角形の重心

$A(x_1, y_2), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$からなる△ABCの重心の座標は
　　　　$(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$

“三角形の重心の座標”の証明

点と直線の距離

点$(x_1, y_1)$と直線ax+by+c=0の距離dは
　　　　$d＝\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

“点と直線の距離”の証明

円の方程式

(a, b)を中心とする半径rの円の方程式は
　　　　$(x-a)^2+(y-b)^2＝r^2$

三角関数

扇形の弧の長さと面積

半径r、中心角θ、弧の長さl、面積Sとすると
　　$・l＝rθ$
　　$・S=\frac{1}{2}r^2θ=\frac{1}{2}lr$

“扇形の弧の長さと面積”の証明

三角関数の相互関係

　$・sin^2θ+cos^2θ=1$
　$・tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}$
　$・1+tan^2θ=\frac{1}{cos^2θ}$

“三角関数の相互関係”の証明

加法定理

$・sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ$
$・sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ$
$・cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ$
$・cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ$
$・tan(α+β)=\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$
$・tan(α-β)=\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$

“加法定理”の証明

２倍角の公式

$・sin2α＝2sinαcosα$
$・cis2α＝cos^2α-sin^2α$
　　　　$＝1-2sin^2α＝2cos^2α-1$
$・tan2α=\frac{2tanα}{1-tan^2α}$

“2倍角の公式”の証明

半角の公式

　$・sin^2\frac{α}{2}＝\frac{１－cosα}{2}$
　$・cos^2\frac{α}{2}＝\frac{１+cosα}{2}$

“半角の公式”の証明

三角関数の合成

$$asinθ+bcosθ＝\sqrt{a^2+b^2}sin(θ+α)$$

“三角関数の合成”の証明

積和の公式

$・sinαcosβ=\frac{1}{2}(sin(α+β)+sin(α-β))$
$・cosαsinβ=\frac{1}{2}(sin(α+β)-sin(α-β))$
$・cosαcosβ=\frac{1}{2}(cos(α+β)+cos(α-β))$
$・sinαsinβ=-\frac{1}{2}(cos(α+β)-cos(α-β))$

“積和の公式”の証明

和積の公式

$・sinα+sinβ=2sin\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}$
$・sinα-sinβ=2cos\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}$
$・cosα+cosβ=2cos\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}$
$・cosα-cosβ=-2sin\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}$

“和積の公式”の証明

指数関数・対数関数

対数と指数

a≠1、a>0、M>0のとき
　　　　　$log_aM=p　⇔　a^p=M$

対数の性質

a≠1、a>0、M>0、N>0のとき
　$・log_a1=0$
　$・log_aa=1$
　$・log_aMN=log_aM+log_aN$
　$・log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN$
　$・log_aM^r=rlog_aM$

“対数の性質”の証明

底の変換公式

a≠1、c≠1でa、b、cが正の数のとき
　　　$log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}$

“底の変換公式”の証明

微分と積分

導関数の定義

$$f'(x)=\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

xⁿの導関数

xが自然数のとき
　　　　　$(x^n)’=nx^{n-1}$

” $x^n$ の導関数”の証明

定積分

$$\int_a^bf(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$$