分子やキャリアの密度に差があると，ランダムな熱運動によって高密度側から低密度側への正味の移動が生じます．これが拡散です．半導体では拡散による電流 (拡散電流)とドリフト電流があります．本記事では拡散電流について説明します．
拡散とは
拡散は，粒子のランダムな熱運動によって，密度の高い側から低い側へ正味の移動が生じる現象です．図1のように電子密度に差があると，電界がなくても電子は正味として高密度側から低密度側へ移動します．
電子の正味の移動によって，電流が流れます．この拡散によって生じる電流を拡散電流といいます．
全体の拡散電流は電子と正孔による拡散を合わせた電流になるため，全体の拡散電流密度は以下のように示されます．
$$J=J_n+J_p=q\left\{D_n\frac{dn(x)}{dx}-D_p\frac{dp(x)}{dx}\right\}$$
\(J_n\)：電子による拡散電流密度
\(J_p\)：正孔による拡散電流密度
\(q\)：電荷
\(n\)：電子のキャリア密度
\(p\)：正孔のキャリア密度
\(D_n\)：電子の拡散係数
\(D_p\)：正孔の拡散係数
上の式のように，電子と正孔が同じ向きに拡散すれば電流は互いに打ち消し合い，逆の向きに拡散すれば電流は足し合わせた値になります．また，拡散はキャリアの不均一で起きるため，不均一でなくなれば拡散電流も0になります．
拡散とドリフト
半導体では拡散電流だけではなく，電界よる電流 (ドリフト電流)も流れます．
熱平衡状態のpn接合などでは，電子の拡散電流とドリフト電流が打ち消し合います．電子の拡散電流密度は\(qD_n\frac{dn}{dx}\)，ドリフト電流密度は\(qn\mu_nE\)なので，和が0となる条件から次の式が得られます．
$$-qn(x)\mu E=qD\frac{dn(x)}{dx}$$
\(n\): 電子のキャリア密度
\(\mu\): 移動度
\(E\): 電界
\(D\): 拡散係数
正孔でも同様の式が成り立ちます．
アインシュタインの関係
ここでは計算は省略しますが，電子の拡散とドリフトの関係の式，電子密度の近似式，位置エネルギーの微分とクーロン力の関係から以下のアインシュタインの関係が成り立ちます．
$$D_n=\mu _n\frac{kT}{q}$$
\(D_n\)：電子の拡散係数
\(\mu_n\)：電子の移動度
\(k\)：ボルツマン定数
\(T\)：絶対温度
\(q\)：素電荷
アインシュタインの関係は移動度と拡散係数の関係を示し，正孔でも以下の式に示すように同様に成り立ちます．
$$D_p=\mu _p\frac{kT}{q}$$
\(D_p\)：正孔の拡散係数
\(\mu_p\)：正孔の移動度
拡散と再結合
ここからはより複雑になるため，拡散の基礎のみ知りたい方は以下を読まなくてもいいと思います．
キャリアの拡散を考える際，キャリアの発生と再結合も考える必要があります．本章では，まずキャリアの発生・再結合について説明したあと，拡散と発生・再結合の関係について説明していきます．
キャリアの発生・再結合
キャリアは熱や光によって生成され，電子と正孔の再結合によって失われます．キャリア寿命 (ライフタイム)は，再結合によって過剰キャリアが減少する速さを表す代表的な時間です．寿命が一定なら，生成を止めた後の過剰キャリア密度は指数関数的に減少します．
熱平衡状態の場合
熱平衡状態ではキャリアの関係は以下のようになります．
$$n_0p_0=n_i^2$$
\(n_0\)：熱平衡状態のときの電子密度
\(p_0\)：熱平衡状態のときの正孔密度
\(n_i\)：真性キャリア密度
伝導帯の電子が価電子帯の正孔と再結合すると，電子・正孔対が失われます．
図2に熱平衡状態のp型半導体でのキャリアの発生と再結合の様子を示します．
熱エネルギーによるキャリアの発生速度を\(G_{th}\)，キャリアが再結合する速度を\(R_0\)とすると以下の式が成り立ちます．
$$G_{th}=R_0$$
\(G_{th}\)：熱によるキャリアの発生速度
\(R_0\)：キャリアの再結合速度
非熱平衡状態の場合
光を照射すると，熱による生成に加えて光による生成が起こり，キャリア密度が熱平衡値から変化します．図3にその様子を示します．以下の\(G_{th}+G_L=R\)は，キャリアの流入・流出がなく，密度が時間的に変化しない定常状態で成り立つ関係です．
光によるキャリアの発生速度を\(G_L\)とするとキャリアの発生と再結合の関係は以下のように示されます．
$$G_{th}+G_L=R$$
\(G_{th}\)：熱によるキャリアの発生速度
\(G_{L}\)：光によるキャリアの発生速度
\(R\)：キャリアの再結合速度
また光の照射によりp型半導体で発生した電子密度を\(\Delta n\)，正孔密度を\(\Delta p\)とするとキャリアの関係は以下のようになります．
$$p_p=p_{p0}+\Delta p$$
$$n_p=n_{p0}+\Delta n$$
$$\Delta p=\Delta n$$
拡散と発生・再結合の関係
拡散と発生・再結合の関係について示します．
図4のようにp型半導体における単位長さあたりの少数キャリアの時間的変化は，以下の式で表されます．
$$\frac{\delta n_p(x,t)}{\delta t}=\frac{1}{q}\frac{J_n(x+dx)-J_n(x)}{dx}-R+G$$
\(n_p\)：電子密度 (少数キャリアのキャリア密度)
\(J_n\)：電子の電流密度
\(R\)：再結合速度
\(G\)：発生速度
\(q\)：素電荷
p型半導体の少数キャリアである電子について，低注入条件で，拡散係数・移動度・電界が位置によらず一定，寿命時間が一定と仮定すると，以下の連続の式が得られます．ここで\(n_0\)は熱平衡電子密度\(n_{p0}\)を表します．電界が位置によって変化する場合は，さらに\(\mu_n n_p\frac{\partial E}{\partial x}\)の項が必要です．
$$\frac{\delta n_p(x,t)}{\delta t}=D_n\frac{\delta ^2n_p(x,t)}{\delta x^2}+\mu _nE\frac{\delta n_p(x,t)}{\delta x}-\frac{n_p(x,t)-n_0}{\tau _n}+G_L$$
片側から光を照射した場合の連続の式
図5のように，p型半導体の表面付近だけで光が吸収される場合を考えます．表面で生じた少数キャリアは内部へ拡散し，再結合します．内部では電界と光による生成を無視でき，定常状態かつ低注入であるとすると，連続の式は次の形になります．
$$0=D_n\frac{d^2n_p(x)}{dx^2}-\frac{n_p(x)-n_0}{\tau _n}$$
また，境界条件n_p(0)=(定数)，\(n_p(\infty)=n_{p0}\)より以下の解を得られます．
$$n_p(x)=n_{p0}+\{n_p(0)-n_{p0}\}exp(-\frac{x}{L_n})$$
\(n_p(x)\): 距離\(x\)での電子密度
\(n_{p0}\): 熱平衡状態での電子密度
\(n_p(0)\): 距離0での電子密度
\(L_n=\sqrt{D_n\tau _n}\): 拡散長 (拡散距離)
\(L_n=\sqrt{D_n\tau_n}\)を拡散長といいます．この条件では，表面から\(L_n\)だけ離れると，熱平衡値からの増加分である過剰電子密度\(n_p(x)-n_{p0}\)が表面の値の1/e（約36.8%）になります．全電子密度が1/eになるわけではありません．n型半導体の少数キャリアである正孔も同様です．
まとめ
- 拡散：熱運動によってキャリアが高密度側から低密度側へ正味として移動する現象
- 拡散とドリフトの関係：\(-qn(x)\mu E=qD\frac{dn(x)}{dx}\)
- アインシュタインの関係：\(D=\mu \frac{kT}{q}\)
- 寿命時間 (ライフタイム)：再結合によって過剰キャリアが減少する速さを表す代表的な時間
- 熱平衡状態での発生速度と再結合速度の関係：\(G_{th}=R_0\)
- 光照射下で流入・流出のない定常状態での発生速度と再結合速度の関係：\(G_{th}+G_L=R\)
- 連続の式：\(\frac{\delta n_p(x,t)}{\delta t}=D_n\frac{\delta ^2n_p(x,t)}{\delta x^2}+\mu _nE\frac{\delta n_p(x,t)}{\delta x}-\frac{n_p(x,t)-n_0}{\tau _n}+G_L\)
- 拡散長 (拡散距離)：\(L_n=\sqrt{D_n\tau _n}\)