MOSFETのドレイン電流\(I_{D}\)の式を導出していきます．MOSFETの基礎と動作を理解に役立ててください．(MOSFETの動作原理はこちら)
ドレイン電流 \(I_D\) (線形領域)
上図にnMOSの構造を示します．ゲートがオンのとき (ゲート電圧 \(V_{GS}\)がHのとき)，ドレイン-ソース間で電流が流れるようになります．この状態で，ドレイン電圧\(V_{DS}\)を上げるほど，ドレイン電流も大きくなる領域を線形領域といいます．
先に答えを示しますが，線形領域でのドレイン電流は以下の通りです．次節で，nMOSの線形領域でのドレイン電流を導出をします (pMOSでも同様にして求められます)．
線形領域でのドレイン電流 (nMOS)
$$I_{D}=\frac{W}{L}\mu_nC_{ox}\left[(V_{GS}-V_{TH})V_{DS}-\frac{1}{2}V_{DS}^2\right]$$
線形領域でのドレイン電流 (pMOS)
$$I_{D}=-\frac{W}{L}\mu_pC_{ox}\left[(V_{GS}-V_{TH})V_{DS}-\frac{1}{2}V_{DS}^2\right]$$
- \(W\)：ゲート幅
- \(L\)：ゲート長
- \(\mu_n\)：電子の移動度
- \(\mu_p\)：ホールの移動度
- \(C_{ox}\)：ゲート容量
- \(V_{GS}\)：ゲート電圧
- \(V_{TH}\)：しきい値電圧
- \(V_{DS}\)：ドレイン電圧
式の導出 (線形領域・nMOS)
nMOSの線形領域での，ドレイン電流\(I_D\)の導出をしていきます．改めてnMOSの構造図を下に示します．
ゲート下にはゲート電圧 \(V_{GS}\)から，しきい値電圧 \(V_{TH}\)を引いた電圧がかかっています．また，ドレインに電圧\(V_{DS}\)をかけると，上図の位置\(x\)によってゲート下に電圧\(V(x)\)がかかります．\(Q=CV\)の関係より，これら電圧とゲート容量\(WC_{ox}\) (\(Wはゲート幅\))を用いると，\(x\)のゲート下で誘起された電荷は
\(Q(x)=-WC_{ox}(V_{GS}-V(x)-V_{TH}) ①\)
となります．電子の移動度\(\mu_n\)より，\(x\)での電子の速度は\(u(x)=-\mu_nE(x)\)となります (移動度についてはこちら)．また電流\(I\)は，電荷量\(Q\)と電荷の平均速度の積から求めることができます．これらを用いるとドレイン電流\(I_D\)は
\(I_D=Q(x)u(x)=Q(x)(-\mu_nE(x))=Q(x)\mu_n\frac{dV(x)}{dx} ②\)
① ②より
\(I_D=WC_{ox}(V_{GS}-V(x)-V_{TH})\mu_n\frac{dV(x)}{dx}\)
また\(V(0)=0\)，\(V(L)=V_{DS}\)より
\(\displaystyle \int_{0}^{L}I_Ddx=W\mu_nC_{ox}\displaystyle \int_{0}^{V_{DS}}(V_{GS}-V_{TH}-V(x))dV(x) \)
⇒\([I_D]_0^L=W\mu_nC_{ox}[(V_{GS}-V_{TH})V(x)-\frac{1}{2}V(x)^2]_0^{V_{DS}}\)
⇒\(LI_D=W\mu_nC_{ox}[(V_{GS}-V_{TH})V_{DS}-\frac{1}{2}V_{DS}^2]\)
⇒\(I_D=\frac{W}{L}\mu_nC_{ox}[(V_{GS}-V_{TH})V_{DS}-\frac{1}{2}V_{DS}^2]\)
以上のように，nMOSの線形領域での，ドレイン電流\(I_D\)の導出をしました．
ドレイン電流 \(I_D\) (飽和領域)
上図にnMOSの構造を示します．ゲートがオンのとき (ゲート電圧 \(V_{GS}\)がHのとき)，ドレイン-ソース間で電流が流れるようになります．この状態で，ドレイン電圧\(V_{DS}\)を線形領域からさらに上げると，あるときからドレイン電流が増えなくなります (チャネル長変調効果なしの場合)．このドレイン電流が飽和した領域を，飽和領域といいます．これはドレイン電圧\(V_{DS}\)によって，ドレイン近くで反転層がなくなるピンチオフ点が現れるためです．
先に答えを示しますが，飽和領域でのドレイン電流は以下の通りです．次節で，nMOSの飽和領域でのドレイン電流を導出をします (pMOSでも同様にして求められます)．
飽和領域でのドレイン電流 (nMOS，チャネル長変調効果なし)
$$I_{D}=\frac{1}{2}\frac{W}{L}\mu_nC_{ox}(V_{GS}-V_{TH})^2$$
飽和領域でのドレイン電流 (pMOS，チャネル長変調効果なし)
$$I_{D}=- \frac{1}{2}\frac{W}{L}\mu_pC_{ox}(V_{GS}-V_{TH})^2$$
式の導出 (飽和領域)
nMOSの飽和領域でのドレイン電流 (チャネル長変調効果なしの場合)の導出をしていきます (チャネル長変調効果ありの場合の式はMOSFETの基礎④【チャネル長変調効果】で導出)．
\(V_{DS}\)が大きくなると上図のピンチオフ点では誘起電荷がなくなるため，ピンチオフ点\(x_p\)では
\(Q(x_p)=-WC_{ox}(V_{GS}-V(x_p)-V_{TH})=0\)
となるため，以下が成り立つ
\(V(x_p)=V_{GS}-V_{TH}\)
よって線形領域のドレイン電流の式で\(V_{DS}=V_{GS}-V_{TH}\)とすればいいため
\(I_D=\frac{1}{2}\frac{W}{L}\mu_nC_{ox}(V_{GS}-V_{TH})^2\)
となります．
ドレイン電流のグラフ
上で求めた式をグラフにすると上図のようになります．
まとめ
線形領域でのドレイン電流 (nMOS)
$$I_{D}=\frac{W}{L}\mu_nC_{ox}\left[(V_{GS}-V_{TH})V_{DS}-\frac{1}{2}V_{DS}^2\right]$$
線形領域でのドレイン電流 (pMOS)
$$I_{D}=-\frac{W}{L}\mu_pC_{ox}\left[(V_{GS}-V_{TH})V_{DS}-\frac{1}{2}V_{DS}^2\right]$$
飽和領域でのドレイン電流 (nMOS，チャネル長変調効果なし)
$$I_{D}=\frac{1}{2}\frac{W}{L}\mu_nC_{ox}(V_{GS}-V_{TH})^2$$
飽和領域でのドレイン電流 (pMOS，チャネル長変調効果なし)
$$I_{D}=- \frac{1}{2}\frac{W}{L}\mu_pC_{ox}(V_{GS}-V_{TH})^2$$
