【半導体工学】半導体のキャリア密度

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工学

半導体のキャリア密度を勉強しておくことはアナログ回路の設計などには必要になってきます.本記事では半導体のキャリア密度の計算に必要な状態密度関数とフェルミ・ディラック分布関数を説明したあとに,真性半導体と不純物半導体のキャリアについて温度との関係などを交えながら説明していきます.

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半導体のキャリアとは

半導体でいうキャリアとは電子正孔 (ホール)のことで,半導体では電子か正孔が流れることで電流が流れます.原子は原子核 (陽子と中性子)と電子で構成されています.通常は原子の陽子と電子の数は同じですが,何かの原因で電子が一つ足りなくなった場合などに正孔というものができます.正孔は電子と違い実際にあるものではないですが,原子の正孔に隣の原子から電子が移り,それが繰り返し起こることで電流が流れることができます.

半導体のキャリア密度

半導体のキャリア密度は状態密度関数とフェルミ・ディラック分布関数から計算することができます.本章では状態密度関数とフェルミ・ディラック分布関数,真性半導体のキャリア密度,不純物半導体のキャリア密度について説明します.

状態密度関数とフェルミ・ディラック分布関数

伝導帯の電子密度は ①伝導帯に電子が存在できる席の数. ②その席に電子が埋まっている確率.から求めることができます.状態密度関数は ①伝導帯に電子が存在できる席の数.に相当する関数,フェルミ・ディラック分布関数は ②その席に電子が埋まっている確率.に相当する関数で,同様に価電子帯の正孔密度も状態密度関数とフェルミ・ディラック分布関数から求めることができます.キャリア密度の計算に使われるこれらの伝導帯の電子の状態密度\(g_C(E)\),価電子帯の正孔の状態密度\(g_V(E)\),電子のフェルミ・ディラック分布関数\(f_n(E)\),正孔のフェルミ・ディラック分布関数\(f_p(E)\)を以下に示します.正孔のフェルミ・ディラック分布関数\(f_p(E)\)は電子の存在しない確率と等しくなります.

状態密度関数

\(g_C(E)=4\pi(\frac{2m_n^*}{h^2})^{\frac{3}{2}}(E-E_C)^{\frac{1}{2}}\)

\(g_V(E)=4\pi(\frac{2m_p^*}{h^2})^{\frac{3}{2}}(E_V-E)^{\frac{1}{2}}\)

フェルミ・ディラック分布関数

\(f_n(E)=\frac{1}{1+\exp(\frac{E-E_F}{kT})}\)

\(f_p(E)=1-f_n(E)=\frac{1}{1+\exp(\frac{E_F-E}{kT})}\)

\(h\):プランク定数
\(m_n^*\):電子の有効質量
\(m_p^*\):正孔の有効質量
\(E_C\):伝導帯の下端のエネルギー
\(E_V\):価電子帯の上端のエネルギー
\(k\):ボルツマン定数
\(T\):絶対温度

真性半導体のキャリア密度

図1 真性半導体のキャリア密度

図1に真性半導体の(a)エネルギーバンド (b)状態密度 (c)フェルミ・ディラック分布関数 (d)キャリア密度 を示します.\(E_F\)はフェルミ・ディラック分布関数が0.5になるときのエネルギーです.キャリア密度は状態密度関数とフェルミ・ディラック分布関数の積で求められます.エネルギーEのときの電子数はn(E),正孔数はp(E)となります.詳細な計算は省きますが電子密度n,正孔密度p以下のようになります.

\(n=\displaystyle \int_{E_C}^{\infty}g_C(E)f_n(E)dE=N_C\exp(\frac{E_F-E_C}{kT})\)

\(p=\displaystyle \int_{-\infty}^{E_V}g_V(E)f_p(E)dE=N_V\exp(\frac{E_V-E_F}{kT})\)

\(N_C=2(\frac{2\pi m_n^*kT}{h^2})^{\frac{3}{2}}\):伝導帯の実行状態密度
\(N_V=2(\frac{2\pi m_p^*kT}{h^2})^{\frac{3}{2}}\):価電子帯の実行状態密度

真性キャリア密度

真性半導体のキャリアは熱的に電子と正孔が対で励起されるため,電子密度nと正孔密度pは等しくなります.真性半導体のキャリア密度を真性キャリア密度\(n_i\)といい,以下の式のようになります.後ほどにも説明しますが,不純物半導体の電子密度nと正孔密度pの積の根も\(n_i\)になります.

\(n_i=\sqrt{np}\)

温度の変化によるキャリア密度の変化

真性半導体の場合は熱的に電子と正孔が励起されるため,上で示したキャリア密度の式からもわかるように,半導体の温度が上がるの連れてキャリア密度も高くなります.温度の上昇によりキャリア密度が高くなる様子を図で表すと図2のようになります.温度が上昇すると図2 (a)のようにフェルミ・ディラック分布関数が変化していき,それによってキャリア密度が上昇していきます.

図2 温度変化によるキャリア密度の変化

不純物半導体のキャリア密度

不純物半導体は不純物を添付した半導体で,キャリアが電子の半導体はn型半導体,キャリアが正孔の半導体をp型半導体といいます.図3にn型半導体のキャリア密度,図4にp型半導体のキャリア密度の様子を示します.図からわかるようにn型半導体では電子のキャリア密度が正孔のキャリア密度より高く,p型半導体では正孔のキャリア密度が電子のキャリア密度より高くなっています.より多いキャリアを多数キャリア,少ないキャリアを少数キャリアといいます.不純物半導体のキャリア密度は以下の式のように表されます.

\(n=n_i\exp(\frac{E_F-E_i}{kT})\)

\(p=n_i\exp(\frac{E_i-E_F}{kT})\)

\(E_i\)は真性フェルミ準位でといい,真性半導体では\(E_i=E_F=\frac{E_C-E_V}{2}\)の関係があります.不純物半導体では不純物を注入することでフェルミ準位\(E_F\)のようにフェルミ・ディラック関数が変化してキャリア密度も変化します.計算するとわかりますが不純物半導体の場合でも\(np=n_i^2\)の関係が成り立ち,半導体に不純物を注入することで片方のキャリアが増える代わりにもう片方のキャリアは減ることになります.また不純物を注入しても通常は総電荷は0になるため,n型半導体では\(qp-qn+qN_d=0\) (\(N_d\):ドナー密度),p型半導体では\(qp-qn-qN_a=0\) (\(N_a\):アクセプタ密度)が成り立ちます.

図3 不純物半導体 (n型)のキャリア密度
図4 不純物半導体 (p型)のキャリア密度

まとめ

  • 状態密度関数:伝導帯に電子が存在できる席の数に相当する関数
  • フェルミ・ディラック分布関数:その席に電子が埋まっている確率
  • 真性キャリア密度:\(n_i=\sqrt{np}\)
  • 不純物半導体のキャリア密度:\(n=n_i\exp(\frac{E_F-E_i}{kT})\),\(p=n_i\exp(\frac{E_i-E_F}{kT})\)

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