半導体キャリア密度の理解は，回路やセンサ開発などの応用の上でも重要です．本記事ではまず，半導体のキャリア密度の計算に必要な，状態密度関数とフェルミ・ディラック分布関数の解説します．その後，真性半導体と不純物半導体のキャリアについて，温度との関係などを交えながら説明していきます．
キャリアとは
キャリアは，移動できる電子 (伝導電子)と正孔 (ホール)のことです．半導体では電子・正孔が移動することで，電流が流れます．(詳しくはこちら)
半導体のキャリア密度
半導体のキャリア密度の理解は半導体の理解・応用の点で重要です．以下で説明しますが，キャリア密度は状態密度関数とフェルミ・ディラック分布関数から求めることができます．
状態密度関数とフェルミ・ディラック分布関数
伝導電子 (移動できる電子)の密度は ①「伝導帯に電子が存在できる席の数」，②「席に電子が埋まっている確率」から求めることができます．状態密度関数は ①の「伝導帯に電子が存在できる席の数」を示す関数です．フェルミ・ディラック分布関数は ②の「席に電子が埋まっている確率」を示す関数です．同様に，移動できる正孔の密度も状態密度関数とフェルミ・ディラック分布関数から求められます．
以下に，それぞれの式を示します (波形は次節で示してます)．
伝導帯の電子の状態密度関数
\(g_C(E)=4\pi(\frac{2m_n^*}{h^2})^{\frac{3}{2}}(E-E_C)^{\frac{1}{2}}\)
価電子帯の正孔の状態密度関数
\(g_V(E)=4\pi(\frac{2m_p^*}{h^2})^{\frac{3}{2}}(E_V-E)^{\frac{1}{2}}\)
電子のフェルミ・ディラック分布関数
\(f_n(E)=\frac{1}{1+\exp(\frac{E-E_F}{kT})}\)
正孔のフェルミ・ディラック分布関数
\(f_p(E)=1-f_n(E)=\frac{1}{1+\exp(\frac{E_F-E}{kT})}\)
\(h\)：プランク定数
\(m_n^*\)：電子の有効質量
\(m_p^*\)：正孔の有効質量
\(E_C\)：伝導帯の下端のエネルギー
\(E_V\)：価電子帯の上端のエネルギー
\(k\)：ボルツマン定数
\(T\)：絶対温度
正孔のフェルミ・ディラック分布関数\(f_p(E)\)は電子の存在しない確率と等しいです．次で，これら状態密度関数とフェルミ・ディラック分布関数を使って，キャリア密度を求めていきます．
真性半導体のキャリア密度
図1に真性半導体の(a)エネルギーバンド ，(b)状態密度 ，(c)フェルミ・ディラック分布関数 ，(d)キャリア密度を示します．
フェルミ準位\(E_F\)は，温度が0 Kより高いとき，電子の占有確率が0.5となるエネルギーです．電子密度nは伝導帯の状態密度と電子の占有確率fの積を，正孔密度pは価電子帯の状態密度と空いている確率1−fの積を，それぞれエネルギーについて積分して求めます．以下の指数関数による表式は，フェルミ準位がバンド端から十分離れた非縮退半導体での近似です．
\(n=\displaystyle \int_{E_C}^{\infty}g_C(E)f_n(E)dE\approx N_C\exp(\frac{E_F-E_C}{kT})\)
\(p=\displaystyle \int_{-\infty}^{E_V}g_V(E)f_p(E)dE\approx N_V\exp(\frac{E_V-E_F}{kT})\)
\(N_C=2(\frac{2\pi m_n^*kT}{h^2})^{\frac{3}{2}}\)：伝導帯の有効状態密度
\(N_V=2(\frac{2\pi m_p^*kT}{h^2})^{\frac{3}{2}}\)：価電子帯の有効状態密度
真性キャリア密度
真性半導体のキャリアは熱的に電子と正孔が対で励起されるため，電子密度\(n\)と正孔密度\(p\)は等しくなります．真性半導体のキャリア密度を真性キャリア密度\(n_i\)といい，以下の式のようになります．後ほど説明しますが，不純物半導体の電子密度\(n\)と正孔密度\(p\)の積の根も\(n_i\)になります．
\(n_i=\sqrt{np}\)
温度の変化によるキャリア密度の変化
真性半導体の場合は熱のエネルギーで電子と正孔が励起されます．上で示したキャリア密度の式からもわかるように，半導体の温度が上がるの連れてキャリア密度も高くなります．温度の上昇により，キャリア密度が高くなる様子を図2に示します．温度が上昇すると図2 (a)のようにフェルミ・ディラック分布関数が変化していき，キャリア密度も増加します．
不純物半導体のキャリア密度
不純物半導体は，電気的特性を制御するために不純物を添加した半導体です．電子が多数キャリアとなるものをn型，正孔が多数キャリアとなるものをp型といいます．どちらにも電子と正孔が存在します．図3，図4にそれぞれのキャリア密度を示します．
n型半導体では電子のキャリア密度が正孔のキャリア密度より高く，p型半導体では正孔のキャリア密度が電子のキャリア密度より高いです．より多いキャリアを多数キャリア，少ないキャリアを少数キャリアといいます．不純物半導体のキャリア密度は以下の式のように表されます．
\(n=n_i\exp(\frac{E_F-E_i}{kT})\)
\(p=n_i\exp(\frac{E_i-E_F}{kT})\)
E_iは真性フェルミ準位です．非縮退近似では，\(E_i=\frac{E_C+E_V}{2}+\frac{kT}{2}\ln\frac{N_V}{N_C}\)となり，N_CとN_Vの差を無視すると禁制帯のほぼ中央にあります．真性半導体では\(E_F=E_i\)です．熱平衡・非縮退の条件では，不純物半導体でも\(np=n_i^2\)が成り立ち，一方のキャリアが増えると他方は減ります．電荷中性条件は\(p+N_D^+=n+N_A^-\)で，N_D⁺とN_A⁻はイオン化したドナーとアクセプタの密度です．本文のn型・p型それぞれの式は，片方の不純物のみを添加し，完全にイオン化した場合に得られます．
まとめ
- 状態密度関数：伝導帯に電子，価電子帯の正孔が存在できる席の数を示す関数
- フェルミ・ディラック分布関数：その席に電子，正孔が埋まっている確率
- 真性キャリア密度：真性半導体ではn=p=n_i．熱平衡・非縮退の条件でnp=n_i²が成り立つ
- 不純物半導体のキャリア密度：\(n=n_i\exp(\frac{E_F-E_i}{kT})\)，\(p=n_i\exp(\frac{E_i-E_F}{kT})\)