【微分積分学】逆三角関数の導関数の求め方

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数学

本記事では逆三角関数の導関数の求め方を示します.お役に立てれば幸いです.

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arcsin xの導関数の求め方

解答

\((arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  (-1<x<1)\)

求め方

\(y=arcsin x\)とすると
⇒\(x=sin y\)
両辺をyで微分すると
⇒\(\frac{x}{y}=cos y\)
⇒\(\frac{y}{x}=(arcsin x)’=\frac{1}{cos y}\)
\( =\frac{1}{\sqrt{1-sin^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
よって
\((arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  (-1<x<1)\)
となります.

arccos xの導関数の求め方

解答

\((arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  (-1<x<1)\)

求め方

\(y=arccos x\)とすると
⇒\(x=cos y\)
両辺をyで微分すると
⇒\(\frac{x}{y}=-sin y\)
⇒\(\frac{y}{x}=(arccos x)’=-\frac{1}{sin y}\)
\( =-\frac{1}{\sqrt{1-cos^2y}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
よって
\((arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  (-1<x<1)\)
となります.

arctan xの導関数の求め方

解答

\((arctan x)’=\frac{1}{1+x^2}  (-∞<x<∞)\)

求め方

\(y=arctan x\)とすると
⇒\(x=tan y\)
両辺をyで微分すると
\(\frac{x}{y}=\frac{1}{cos^2y}\)
⇒\(\frac{y}{x}=(arctan x)’=\frac{1}{cos^2y}\)
\( =\frac{1}{1+tan^2y}=\frac{1}{1+x^2}\)
よって
\((arctan x)’=\frac{1}{1+x^2}  (-∞<x<∞)\)
となります.

まとめ

  • \((arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  (-1<x<1)\)
  • \((arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  (-1<x<1)\)
  • \((arctan x)’=\frac{1}{1+x^2}  (-∞<x<∞)\)

コメント

  1. はいい

  2. コメント

  3. こんにちは

  4. 完了

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