【微分積分学】逆三角関数の導関数の求め方

数学
あお

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本記事では微分積分学で利用される逆三角関数の導関数の求め方を示します.お役に立てれば幸いです♪

arcsin xの導関数の求め方

公式

\(arcsin\)の導関数

\((arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  (-1<x<1)\)

求め方

\(y=arcsin x\)とすると
⇒\(x=sin y\)
両辺をyで微分すると
⇒\(\frac{x}{y}=cos y\)
⇒\(\frac{y}{x}=(arcsin x)’=\frac{1}{cos y}\)
\( =\frac{1}{\sqrt{1-sin^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
よって
\((arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  (-1<x<1)\)
となります.

arccos xの導関数の求め方

公式

\(arccos\)の導関数

\((arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  (-1<x<1)\)

求め方

\(y=arccos x\)とすると
⇒\(x=cos y\)
両辺をyで微分すると
⇒\(\frac{x}{y}=-sin y\)
⇒\(\frac{y}{x}=(arccos x)’=-\frac{1}{sin y}\)
\( =-\frac{1}{\sqrt{1-cos^2y}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
よって
\((arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  (-1<x<1)\)
となります.

arctan xの導関数の求め方

公式

\(arctan\)の導関数

\((arctan x)’=\frac{1}{1+x^2}  (-∞<x<∞)\)

求め方

\(y=arctan x\)とすると
⇒\(x=tan y\)
両辺をyで微分すると
\(\frac{x}{y}=\frac{1}{cos^2y}\)
⇒\(\frac{y}{x}=(arctan x)’=\frac{1}{cos^2y}\)
\( =\frac{1}{1+tan^2y}=\frac{1}{1+x^2}\)
よって
\((arctan x)’=\frac{1}{1+x^2}  (-∞<x<∞)\)
となります.

まとめ

本記事では微分積分学で利用される逆三角関数の導関数の求め方を示しました。お役に立てていれば幸いです♪

  • \((arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  (-1<x<1)\)
  • \((arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  (-1<x<1)\)
  • \((arctan x)’=\frac{1}{1+x^2}  (-∞<x<∞)\)
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