本記事では逆三角関数の導関数の求め方を示します．お役に立てれば幸いです．
arcsin xの導関数の求め方
解答
\((arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (-1<x<1)\)
求め方
\(y=arcsin x\)とすると
⇒\(x=sin y\)
両辺をyで微分すると
⇒\(\frac{x}{y}=cos y\)
⇒\(\frac{y}{x}=(arcsin x)’=\frac{1}{cos y}\)
\( =\frac{1}{\sqrt{1-sin^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
よって
\((arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (-1<x<1)\)
となります．
arccos xの導関数の求め方
解答
\((arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (-1<x<1)\)
求め方
\(y=arccos x\)とすると
⇒\(x=cos y\)
両辺をyで微分すると
⇒\(\frac{x}{y}=-sin y\)
⇒\(\frac{y}{x}=(arccos x)’=-\frac{1}{sin y}\)
\( =-\frac{1}{\sqrt{1-cos^2y}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
よって
\((arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (-1<x<1)\)
となります．
arctan xの導関数の求め方
解答
\((arctan x)’=\frac{1}{1+x^2} (-∞<x<∞)\)
求め方
\(y=arctan x\)とすると
⇒\(x=tan y\)
両辺をyで微分すると
\(\frac{x}{y}=\frac{1}{cos^2y}\)
⇒\(\frac{y}{x}=(arctan x)’=\frac{1}{cos^2y}\)
\( =\frac{1}{1+tan^2y}=\frac{1}{1+x^2}\)
よって
\((arctan x)’=\frac{1}{1+x^2} (-∞<x<∞)\)
となります．
まとめ
- \((arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (-1<x<1)\)
- \((arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (-1<x<1)\)
- \((arctan x)’=\frac{1}{1+x^2} (-∞<x<∞)\)