【高校数学】”奇関数の定積分”の公式とその証明

数学
碧(あお)

閲覧ありがとうございます!
enggyの運営をしている「碧(あお)」です。
半導体関係の研究をしているかたわら、enggyの運営やブログ執筆をしています。
「enggy」で少しでも学びがあれば幸いです♪

“奇関数の定積分”の公式とその証明です!

奇関数の定積分

公式

奇関数の定積分

$$\int_{-a}^af(x)dx=0$$

証明

奇関数の定義による証明

証明
\(\int_{-a}^af(x)dx\)
\(=\int_{-a}^0f(x)dx +\int_{0}^af(x)dx\)
また\(x=-t\)とすると
\(\int_{-a}^0f(x)dx\)
\(=\int_{a}^0f(-t)(-1)dt\)
奇関数の定義 f(-x)=-f(x)より
\(=-\int_{0}^af(t)dt\)
よってf(x)が奇関数のとき
\(\int_{-a}^0f(x)dx =-\int_{0}^af(x)dx \)
よって
\(\int_{-a}^af(x)dx\)
\(=\int_{-a}^0f(x)dx +\int_{0}^af(x)dx\)
\(=-\int_{0}^af(x)dx +\int_{0}^af(x)dx\)
\(=0\)

まとめ記事に戻る

スポンサーリンク
スポンサーリンク
シェアする
タイトルとURLをコピーしました