【高校数学】”分散の計算”の公式とその証明

“分散の計算”の公式とその証明です！

分散の計算

公式

$$V(X)=E(X^2)-m^2=E(X^2)-(E(X))^2$$

証明

線形性による証明

証明
分散の定義より
\(V(X)=E((X-m)^2)\)
\(=E(X^2-2mX+m^2)\)
期待値の線形性より
\(=E(X^2)-2mE(X)+m^2\)
\(=E(X^2)-2m^2+m^2\)
\(=E(X^2)-m^2\)
よって
\(V(X)=E(X^2)-m^2=E(X^2)-(E(X))^2\)

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