“対数の性質”の公式とその証明です！
対数の性質
公式
対数の性質
a≠1、a>0、M>0、N>0のとき
\(・log_a1=0\)
\(・log_aa=1\)
\(・log_aMN=log_aM+log_aN\)
\(・log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN\)
\(・log_aM^r=rlog_aM\)
証明
対数の定義による証明
証明
\(log_aM=p ⇔ a^p=M\)より証明する
\(a^0=1\)
⇒ \(log_a1=0\)
\(a^1=a\)
⇒ \(log_aa=1\)
\(log_aM=x , log_aN=y\)とすると
\(M=a^x , N=a^y\)
よって
\(log_aM+log_aN=x+y\) ①
また
\(MN=a^xa^y=a^{x+y}\)
⇒ \(log_aMN=x+y\) ②
①、②より
\(log_aMN=log_aM+log_aN\)
\(log_aM=x , log_aN=y\)とすると
\(M=a^x , N=a^y\)
よって
\(log_aM-log_aN=x-y\) ③
また
\(\frac{M}{N}=\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}\)
⇒ \(log_a\frac{M}{N}=x-y\) ④
③、④より
\(log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN\)
\(x=log_aM^r\)とすると ⑤
\(M^r=a^x \)
⇒ \(M=a^{\frac{x}{r}}\)
⇒ \(\frac{x}{r}=log_aM\)
⇒ \(x=rlog_aM\) ⑥
⑤、⑥より
\(log_aM^r=rlog_aM\)
よって
\(log_a1=0\)
\(log_aa=1\)
\(log_aMN=log_aM+log_aN\)
\(log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN\)
\(log_aM^r=rlog_aM\)
