“内角の二等分線と比”の公式とその証明です！
内角の二等分線と比
公式
内角の二等分線と比 ∠Aの二等分線とBCの交点をPとすると
\(BP：PC＝AB：AC\)
証明①
三角形の相似による証明
証明
Cを通りAPに平行な線とABの延長との交点をQとする。
このとき△BAP∽△BQCとなるため∠BAP=∠BQCとなる。
またAPとQCは平行で錯角が等しくなるため∠PAC=∠ACQ
△BAP∽△BQC であるため
BP：PC＝AB：AQ ①
また△ACQは二等辺三角形 であるため
AQ=AC ②
①、②より
BP：PC＝AB：AC
証明②
三角形の面積の比による証明
証明
△ABPと△ACPの底辺をそれぞれBP、PCとするとそれぞれの三角形の高さは等しくなるため
BP：PC＝△ABP：△ACP ①
また、△ABPと△ACPの底辺をそれぞれAB、ACとするとそれぞれの三角形の面積の比は
△ABP：△ACP
＝AB×APsin〇： AC×APsin〇
＝AB：AC ②
①、②より
BP：PC＝AB：AC
問題
Q
∠Aの二等分線とBCの交点をPとするとき，図のxを求めよ
A
内角の二等分線と比により
\(4:5=8:x\)
⇒\(x=\frac{5\times 8}{4}\)
\(=10\)
よって
\(x=10\)となります．
まとめ
図の問題で三角形が二等分線で分けられるときは内角の二等分線と比が使えるので使えるようにしておきましょう．
