“二重根号”の公式とその証明です！
二重根号
公式
二重根号 \(・\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \)
\(・\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\) (a>bのとき)
証明
\(\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}\) の証明
証明
\(\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} \)
\(=\sqrt{(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2} \)
\(=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} \)
\(=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
よって
\(\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \)
\(\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}\)の証明
証明
\(\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} \)
\(=\sqrt{(\sqrt{a})^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2} \)
\(=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} \)
\(=\sqrt{a}-\sqrt{b}\)
よって
\(\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b} \)
問題
Q
\(\sqrt{7+2\sqrt{12}}\)を簡単化せよ
A
\(\sqrt{7+2\sqrt{12}}\)
\(=\sqrt{3+2\sqrt{3}\sqrt{4}+4}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{4})^2}\)
\(=\sqrt{3}+\sqrt{4}\)
まとめ
二重混合を常に外せるわけではありませんが，今回のように二重混合を外して式を簡単化することができます。
