本記事では部分積分法の証明をします！お役に立てれば幸いです．
部分積分法の証明
式
\(\displaystyle \int f'(x)g(x) dx=f(x)g(x)-\displaystyle \int f(x)g'(x) dx+C\)
証明
まず
\((f(x)g(x))’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)を求める
\((f(x)g(x))’\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}\)
\(+\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\)
\(=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
よって
\((f(x)g(x))’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
両辺を積分すると
\(f(x)g(x)+C=\displaystyle \int f'(x)g(x) dx+\displaystyle \int f(x)g'(x) dx\)
よって
\(\displaystyle \int f'(x)g(x) dx=f(x)g(x)-\displaystyle \int f(x)g'(x) dx+C\)
となります
まとめ
- \(\displaystyle \int f'(x)g(x) dx=f(x)g(x)-\displaystyle \int f(x)g'(x) dx+C\)