“xaの導関数”の公式とその証明です！
\(x^a\)の導関数
公式
\(x^a\)の導関数$$(x^a)’=ax^{a-1}$$
証明
二項定理による証明
証明
導関数の定義より
\((x^a)’\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(x+h)^a-x^a}{h}\)
二項定理より
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(_aC_0x^a+_aC_1x^{a-1}h+_aC_2x^{a-2}h^2+…+_aC_ah^a)-x^a}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}(ax^{a-1}+_aC_2x^{a-2}h+…+_aC_ah^{a-1})\)
\(=ax^{a-1}\)
よって
\((x^a)’=ax^{a-1}\)
