“２倍角の公式”の公式とその証明です！
２倍角の公式
公式
２倍角の公式\(・sin2α＝2sinαcosα\)
\(・cos2α＝cos^2α-sin^2α\)
\(＝1-2sin^2α＝2cos^2α-1\)
\(・tan2α=\frac{2tanα}{1-tan^2α}\)
証明
\(sin2α\)の証明
証明
加法定理より
\(sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\)
このときβ＝αとすると
\(sin(2α)=sinαcosα+cosαsinα\)
よって
\(sin(2α)=2sinαcosα\)
\(cos2α\) の証明
証明
加法定理より
\(cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ\)
このときβ＝αとすると
\(cos(2α)=cosαcosα-sinαsinα\)
よって
\(cos(2α)= cos^2α-sin^2α\)
\(＝1-2sin^2α＝2cos^2α-1\)
\(tan2α\)の証明
証明
\(tan2α\)
\(=\frac{sin2α}{cos2α}\)
\(=\frac{2sinαcosα}{ cos^2α-sin^2α}\)
\(=\frac{(2sinαcosα)÷cos^2α}{( cos^2α-sin^2α)÷cos^2α}\)
\(=\frac{2tanα}{1-tan^2α}\)
よって
\(tan2α=\frac{2tanα}{1-tan^2α}\)
