【微分積分学】∫1/√(a^2-x^2) dxの解き方

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数学

本記事では\(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \)の解き方を示します.お役に立てれば幸いです.

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\(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \)の解き方

解答

\(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C  (a>0) \)

導き方

まず\((arcsinx)’\)を解く。
\(y=arcsinx\)とすると
⇒\(siny=x\)
両辺をyで微分すると
⇒\(\frac{dx}{dy}=cosy\)
⇒\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{cosy}=\frac{1}{\sqrt{1-sin^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
⇒\(\frac{dy}{dx}=(arcsinx)’= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)

よって
\((arcsin\frac{x}{a})’=\frac{1}{a}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\)
つまり両辺を積分すると
\(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C  (a>0) \)
となります.

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