【微分積分学】∫1/(a^2+x^2) dxの求め方

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数学

本記事では\(\displaystyle \int \frac{1}{a^2+x^2}dx\)を求めます。お役に立てれば幸いです.

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\(\displaystyle \int \frac{1}{a^2+x^2}dx\)の求め方

解答

\(\displaystyle \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C (a\neq0)\)

求め方

まず\(arctan\frac{x}{a}\)の導関数を求める
\(y=arctan\frac{x}{a}\)とすると
\(\frac{x}{a}=tan y\)
両辺をyで微分すると
\(\frac{1}{a}\frac{dx}{dy}=\frac{1}{cos^2y}=1+tan^2y\)
⇒\(\frac{dy}{dx}=( arctan\frac{x}{a} )’\)
 \(=\frac{1}{a(1+tan^2y)}=\frac{1}{a+\frac{x^2}{a}}\)
よって
\((arctan\frac{x}{a})’=\frac{1}{a+\frac{x^2}{a}}\)
つまり
\((\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a})’=\frac{1}{a^2+x^2}\)
よって
\(\displaystyle \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C (a\neq0)\)
となります

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